4.2.2 OPERACIONES CON MATRICES (SUMA, DIFERENCIA, MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR Y PRODUCTO DE MATRICES)

 Suma y Resta de Matrices

La suma de matrices consiste en sumar las entradas que son correspondientes.

Ejemplo

$\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 8\\ -2& 3& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 4& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5+1& 0+2& 8+1\\ -2+4& 3+1& 1+0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}6& 2& 9\\ 2& 4& 1\end{array}\right]$

La resta de matrices consiste en restar las entradas que son correspondientes.

Ejemplo

$\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 8\\ -2& 3& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 4& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5-1& 0-2& 8-1\\ -2-4& 3-1& 1-0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4& -2& 7\\ -6& 2& 1\end{array}\right]$

 

Nota: Para poder sumar y restar dos matrices, estas deben tener la misma dimensión, para que todas las entradas de la primera sean correspondientes con todas las entradas de la segunda.

 

Multiplicación de una Matriz por un Escalar

La multiplicación de un escalar por una matriz consiste en multiplicar el escalar por cada una de las entradas de la matriz.

Un escalar es un número real, constante o complejo que sirve para describir un fenómeno físico con magnitud, pero sin dirección.

Ejemplo: Multiplica el escalar 7 por la matriz

$7\times \left[\begin{array}{ccc}5& 0& 8\\ -2& 3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}7\times 5& 7\times 0& 7\times 8\\ 7\times -2& 7\times 3& 7\times 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}35& 0& 56\\ -14& 21& 7\end{array}\right]$

$$

Multiplicación de Matrices

La multiplicación de matrices es un proceso diferente a las operaciones estudiadas hasta el momento. Para entender de mejor manera la multiplicación entre matrices, primero vamos a definir la multiplicación de una fila por una columna.

Multiplicación de una fila por una columna

Si A es una matriz m × n y B es una matriz n × k , podemos hallar la multiplicación de la fila i de A por la columna j de B, de la siguiente manera:
Ejemplo 1:
Multiplicar la matriz A de 1 × 3 por la matriz B de 3 × 1 .

$A=\left[\begin{array}{ccc}-2& 4& 0\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\end{array}\right]$

 

Solución:

$A=\left[\begin{array}{ccc}-2& 4& 0\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\end{array}\right]$

(-2 × 3) + (4 × 2) + (0 × -1) = 2

---

Ejemplo 2:
Multiplicar la segunda fila de A por la primera columna de B.

$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& -2\\ 5& 0\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ -4& 1\end{array}\right]$

 

Solución:

$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& -2\\ 5& 0\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ -4& 1\end{array}\right]$

(4 × -3) + (-2 × -4) = -4

---

Ejemplo 3:
Multiplicar la primera fila de A por la segunda columna de B.

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$

 

Solución:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$

(1 × 4) + (0 × 0) + (3 × 1) = 7

Multiplicación de matrices

$\begin{array}{c}x-y=2\\ x=2+y\end{array}$

 

$\begin{array}{c}x-y=2\\ x=2+y\end{array}$

 

$\begin{array}{c}x-y=2\\ x=2+y\end{array}$

 

$\begin{array}{c}x-y=2\\ x=2+y\end{array}$

 

$\begin{array}{c}x-y=2\\ x=2+y\end{array}$

 

Fila 1 × Columna 1	$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& -2\\ 5& 0\end{array}\right]$ $B=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ -4& 1\end{array}\right]$ $A\times B=\left[\begin{array}{cc}-9& \\ & \\ & \end{array}\right]$ (-1) × (-3) + (3) × (-4) = -9 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 1 × Columna 2	$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& -2\\ 5& 0\end{array}\right]$ $B=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ -4& 1\end{array}\right]$ $A\times B=\left[\begin{array}{cc}-9& 1\\ & \\ & \end{array}\right]$ (-1) × (2) + (3) × (1) = 1 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 2 × Columna 1	$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& -2\\ 5& 0\end{array}\right]$ $B=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ -4& 1\end{array}\right]$ $A\times B=\left[\begin{array}{cc}-9& 1\\ -4& \\ & \end{array}\right]$ (4) × (-3) + (-2) × (-4) = -4 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 2 × Columna 2	$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& -2\\ 5& 0\end{array}\right]$ $B=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ -4& 1\end{array}\right]$ $A\times B=\left[\begin{array}{cc}-9& 1\\ -4& 6\\ & \end{array}\right]$ (4) × (2) + (-2) × (1) = 6 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 3 × Columna 1	$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& -2\\ 5& 0\end{array}\right]$ $B=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ -4& 1\end{array}\right]$ $A\times B=\left[\begin{array}{cc}-9& 1\\ -4& 6\\ -15& \end{array}\right]$ (5) × (-3) + (0) × (-4) = -15 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 3 × Columna 2	$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& -2\\ 5& 0\end{array}\right]$ $B=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ -4& 1\end{array}\right]$ $A\times B=\left[\begin{array}{cc}-9& 1\\ -4& 6\\ -15& 10\end{array}\right]$ (5) × (2) + (0) × (1) = 10 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
A × B	$A\times B=\left[\begin{array}{cc}-9& 1\\ -4& 6\\ -15& 10\end{array}\right]$
Fila 1 × Columna 1	$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$ $B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ $A\times B=\left[\begin{array}{cc}-5& \\ & \end{array}\right]$ (1) × (-2) + (0) × (1) + (3) × (-1) = -5 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 1 × Columna 2	$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$ $B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ $A\times B=\left[\begin{array}{cc}-5& 7\\ & \end{array}\right]$ (1) × (4) + (0) × (0) + (3) × (1) = 7 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 2 × Columna 1	$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$ $B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ $A\times B=\left[\begin{array}{cc}-5& 7\mathrm{}\\ -3& \end{array}\right]$ (2) × (-2) + (-1) × (1) + (-2) × (-1) = -3 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 2 × Columna 2	$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$ $B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ $A\times B=\left[\begin{array}{cc}-5& 7\mathrm{}\\ -3& 6\end{array}\right]$ (2) × (4) + (-1) × (0) + (-2) × (1) = 6 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
A × B	$A\times B=\left[\begin{array}{cc}-5& 7\mathrm{}\\ -3& 6\end{array}\right]$
Fila 1 × Columna 1	$B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$ $B\times A=\left[\begin{array}{ccc}6& & \\ & & \\ & & \end{array}\right]$ (-2) × (1) + (4) × (2) = 6 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 1 × Columna 2	$B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$ $B\times A=\left[\begin{array}{ccc}6& -4& \\ & & \\ & & \end{array}\right]$ (-2) × (0) + (4) × (-1) = -4 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 1 × Columna 3	$B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$ $B\times A=\left[\begin{array}{ccc}6& -4& -14\\ & & \\ & & \end{array}\right]$ (-2) × (3) + (4) × (-2) = -14 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 2 × Columna 1	$B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$ $B\times A=\left[\begin{array}{ccc}6& -4& -14\\ 1& & \\ & & \end{array}\right]$ (1) × (1) + (0) × (2) = 1 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 2 × Columna 2	$B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$ $B\times A=\left[\begin{array}{ccc}6& -4& -14\\ 1& 0& \\ & & \end{array}\right]$ (1) × (0) + (0) × (-1) = 0 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 2 × Columna 3	$B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$ $B\times A=\left[\begin{array}{ccc}6& -4& -14\\ 1& 0& 3\\ & & \end{array}\right]$ (1) × (3) + (0) × (-2) = 3 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 3 × Columna 1	$B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$ $B\times A=\left[\begin{array}{ccc}6& -4& -14\\ 1& 0& 3\\ 1& & \end{array}\right]$ (-1) × (1) + (1) × (2) = 1 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 3 × Columna 2	$B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$ $B\times A=\left[\begin{array}{ccc}6& -4& -14\\ 1& 0& 3\\ 1& -1& \end{array}\right]$ (-1) × (0) + (1) × (-1) = -1 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
Fila 3 × Columna 3	$B=\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$ $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 2& -1& -2\end{array}\right]$ $B\times A=\left[\begin{array}{ccc}6& -4& -14\\ 1& 0& 3\\ 1& -1& -5\end{array}\right]$ (-1) × (3) + (1) × (-2) = -5 Observa la ubicación del producto de la fila por la columna.
B × A	$B\times A=\left[\begin{array}{ccc}6& -4& -14\\ 1& 0& 3\\ 1& -1& -5\end{array}\right]$

Si A es una matriz m × n y B es una matriz n × k, su producto es una matriz P m × k donde cada entrada de P_ij es el producto de la fila i de A por la columna j de B.

 

Nota: Para que un producto A × B sea posible, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B