1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables.

Definición. Una función tiene un máximo (mínimo) en un punto si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P. 

Condiciones necesarias de extremo. Si una función diferenciable alcanza un extremo en el punto entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:

;

Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo.

Condiciones suficientes para la existencia de extremos.

(a) Caso de dos variables. Sea un punto crítico de una función con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea el determinante de su matriz hessiana, entonces:

Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método)

(b) Caso de tres o más variables. Calculamos los siguientes determinantes:

; ;;...;

1. Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un mínimo en
2. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo ), entonces la función tiene un máximo en

Halla los extremos de la función

Solución:

(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.

;

Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=3. Luego P(0,3) es el único punto crítico de la función.

Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,3).

Con lo cual tenemos H(0,3)=+3 luego hay extremo y como se trata de un mínimo.

El valor de la función en el mínimo es f(0,3)=-8.

Halla los extremos de la función

Solución:

(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.

;;

Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=0, z=0. Luego P(0,0,0) es el único punto crítico de la función.

Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,0,0).

Con lo cual tenemos los siguientes determinantes:

;;

Con lo cual ni son todos positivos ni de signos alternos, luego hay duda.

Para determinar la naturaleza del punto crítico hay que acudir a otros criterios, en este caso basta observar la función para que se trata de un punto silla para los puntos del tipo (0,0,z) y para los puntos del tipo (x,y,0).

Observación: Un punto silla no significa que la gráfica tenga necesariamente la forma de una “silla de montar”, sino simplemente que cerca del punto crítico la función toma valores superiores y otros inferiores al valor que toma en dicho punto.

Academatica . (8 ago. 2013). Máximos y mínimos funciones de dos variables HD . 01/12/2015, de Academatica Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=dhhmhSAOEug